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2020年国考行测笔试容斥问题中的最值问法

作者:王思文 分校:辽宁分校
2019-11-04 11:34:27

容斥问题是公考中较为常见的一类题型,小伙伴们再练习的时候也乐于做这类题型,常常感觉这类题型的难度低,方法固定,比较容易求解。但在2019年国考时,不少同学会发现原本简单的容斥问题变难了,因为之前我们学过的容斥问题往往直接列方程求解即可,但是2019年的国考题在设问中出现了“至少”两个字,同学们便无从下手了。

那么当容斥问题的设问中出现了“至多”、“至少”等最值问法时,我们应该如何解题呢?我们常用的解法一般是设未知数列出不定方程,然后通过分析如何取最值的方法来求解。我们不妨通过几道例题来总结一下这类题型的规律,希望对大家有所帮助。

【例1】(2018辽宁省公检法)某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏,但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况:只会唱歌,只会乐器演奏,唱歌和乐器演奏都会,唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人,会乐器演奏的有15人,两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有( )人。

A. 27

B. 30

C. 33

D. 36

【思路点拨】分析题干我们可以发现这是一个两集合容斥问题,设问中出现了“至多”这种最值问法。

那么我们可以设该班共有x人,唱歌和乐器演奏都不会的有y人,则两种都会的有5y人,根据二集合容斥公式可列出不定方程:x-y=22+15-5y,化简得:x=37-4y。

要想x取值最大,则y应最小,因为题干中提到有部分同学这2种才艺都不会,所以y最小取1而不能取0;当取y=1时,x=33,故这个班至多有33人。因此,选择C选项。

【例2】(2019国考)有100名员工去年和今年均参加考核,考核结果分为优、良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍。今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?

A. 55

B. 65

C. 75

D. 85

【思路点拨】本题是一个2集合的容斥问题,今年考核结果为优的人可以看做一个集合,去年考核为优的人看做另一个集合,设问中也出现了“至少”这种最值问法。

今年考核人数为良及以下的占比降低了15个百分点,则考核结果为优的提高了15个百分点,两年的总人数均为100,即今年考核结果为优的增加了100×15%=15(人)。设去年考核为优的人数为n,则列方程1.2n-n =15,解得去年人数n=75,今年人数是1.2×75=90(人)

设两年考核结果均为优的人数为x,两年考核结果均不为优的人数为y,根据两集合的容斥原理公式可列等式:100-y=75+90-x;移项后可得x=65+y;根据等式可以分析出当y最小时x最小,y最小可以取0,此时x=65。因此,选择B选项。

【例3】(2015辽宁省考)有135人参加某单位的招聘,31人有英语证书和普通话证书,37人有英语证书和计算机证书,16人有普通话证书和计算机证书,其中一部分人有三种证书,而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试?

A. 51

B. 50

C. 53

D. 52

【思路点拨】本题是一个三集合容斥问题,设问中出现了“至少”这种最值问法。

设持有三种证书的人数为z,不能参加面试的人数为y,根据“总人数-不能参加面试人数=有资格参加面试人数”可列出不定方程:135-y=31+37+16-2z;整理后可得:y=51+2z;想要让y尽量的小,那么需要z取最小值,根据“其中一部分人有三种证书”可知z最小值为1,因此当z=1时y最小,此时y=51+2=53(人)。因此,选择C选项。

【例4】(2013辽宁省考)有100人参加运动会的三个项目,每人至少参加一项,其中未参加跳远的有50人,未参加跳高的有60人,未参加跑赛的有70人,问至少有多少人参加了不止一项活动?

A.7

B.10

C.15

D.20

【思路点拨】本题是一个三集合容斥问题,设问中出现了“至少”这种最值问法。

分析题干我们可以知道参加了跳远、跳高、跑赛的人数分别为50、40、30。共有50+40+30=120(人次)参加了这次活动。假设参加了一项、两项、三项活动的分别有x人,y人、z人。则可以列出不定方程组:

由于我们要求的是y+z,因此消去x可得:y+2z=20;移项可得y+z=20-z;想要y+z最小,需要z最大;通过y+2z=20我们可以分析出z最大可以取10,此时y+z=10最大。因此,本题选择B选项。

通过这几道容斥问题的解析我们大致了解了这类题的解题方法,即通过设未知数的方法列出不定方程,然后根据未知数取最值的情况进行分析,得出想要的答案。